기초통계6:기대값

2-3 기대값

 

모집단과 확률변수에 대해 분명한 이해가 있으면 모집단의 평균을 이해하기도 어렵지 않다.

 

모집단이란 관심의 대상이 되는 집단 전체의 자료들을 의미하며 확률변수는 모집
구성요소들이 갖는 값들이므로 모집단이란 확률변수를 뜻한다.

 

 그러므로,

 

모집단의 평균 = 확률변수 X의 평균

 

이라는 것이다. 그러면 기대값이란 무엇인가?

 

모집단에 대해서 조사하고자 하는 변수 X는 확률분포를 갖는다고 설명하였다.

그러면 모집단의 평균은 어떻게 얻어질 수 있는가 하는 문제를 알아보는 것은 이론적으로 매우

가치 있는 것이다.

 

 

 예를 들어, [그림 2-3]과 같은 뺑뺑이판이 있다고 하자.

   

이 뺑뺑이판에서 딸 수 있는 기대금액은 얼마나 될 것인가 하는 문제는 곧 이 뺑뺑이판의

평균(지출)액은 얼마인가와 같은 문제이고

X=「딸 수 있는 금액」이라고 하면, X의 기대값 또는 X의 평균이라고 할 수 있다는 것이다.

 

여기서

 

 

이 뺑뺑이판의 기대금액은

이며 이 값은 의 기대값 또는 평균이라 하고 Greek 문자 로 표현한다.

-- 즉,

 

 

이다(이 모집단의 평균을 뮤(mu)라고 읽는다). 보다 이론적인 각도에서 기대값을 설명하면

이다. 여기서 는 확률변수 X의 구체적인 값을 나타낸다.
--

   구체적인 예를 들어보자. 확률변수 X의 값들이

 

모집단 = {0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3}

 

으로 구성되어 있다고 하자.

   

    그러면 모집단의 평균은 =(0 + 1 + 1+ 1 + 2 + 2 + 2 + 3)/8 = 1.5  이다.

    또한, 이 모집단을 확률변수 X로 표현하면, X의 확률분포는

 

로 표현할 수 있다. 그러므로 의 기대값은

 

이다.

    다시 말하면, 모집단의 평균은 변수X 의 평균을 나타내는 것이고 또한 의 기대값과
-- 같은 것이다.